지수에 상수를 포함시켜 지수 함수를 변경할 수도 있습니다. 예를 들어 함수 $$h(x)=2^{3x}$$는 지수 함수이기도 합니다. $h(x)$는 입력 $x$에 $1/3$만 추가할 때마다 두 배가 되기 때문에 $f(x)=2^x$보다 빠르게 증가합니다. 우리는 우리에게 재생할 수있는 두 개의 다이얼을 제공, 지수 함수의 정의에 또 다른 매개 변수 $k $를 소개 할 수 있습니다. 이 매개 변수를 $k$라고 하면 지수 함수 $f $$f(x)=b^{kx}.$$를 작성할 수 있습니다.다음 애플릿에서 두 매개 변수 $b$$k의 영향을 탐색할 수 있습니다. 지수 함수는 성장 또는 감소를 설명할 수 있습니다. 함수 $$g(x)=왼쪽(frac{1}{2}오른쪽)^x$$$는 지수 감소의 예입니다. 그래프에서 볼 수 있듯이 $x$가 증가함에 따라 빠르게 작아집니다. 위의 $f$의 그래프에서 볼 수 있듯이 지수 함수는 빠르게 증가합니다.

지수 함수는 가장 간단한 유형의 동적 시스템에 대한 솔루션입니다. 예를 들어, 기하 급수적 인 기능은 박테리아 성장의 간단한 모델에서 발생하지만, 미적분은 기본 $b $에 대한 자연적인 선택이 우리에게 알려줍니다 것으로 나타났습니다. 미적분을 배우면 과학 전반에 걸쳐 가장 일반적인 기준$b$이 불합리한 숫자인 이유를 알 수 있습니다 .$e= 2.718288828459045 $$ 수정 $b=e$, 지수 함수를 $$f(x) = e^{kx}.$$=로 쓸 수 있습니다($e $, 그래서 당신은 $b $)에 대한 상자에 $e $를 입력 할 수 있습니다. 베이스에 $e$를 사용하는 것은 매우 일반적이므로 $e^x$(“e to a $x$”)는 단순히 지수 함수라고 도합니다. 두 매개 변수가 모두 $b$ 및 $k 달러를 두는 것은 어리석은 일이므로 일반적으로 그 중 하나를 제거합니다. 가장 쉬운 방법은 $k$를 제거하고 함수 $$f(x)=b^x.$$$로 돌아가서 처음에는 이 함수를 조금 씩 사용하여 기본 $b 변경하여 함수가 더 빨리 증가하거나 감쇠되도록 하는 것입니다. 우리는 $b 달러 매개 변수로 지수의 기초를 나타낼 수 있습니다. 그런 다음 단일 매개 변수(단일 다이얼이 있는 함수 컴퓨터)가 있는 함수로 $f$를 쓸 수 있습니다: $$f(x)=b^{x}.$$ $b$의 경우 원래 지수 성장 함수$f(x)$가 있고, $b=frac{1}{2}$가 있을 때, 이 같은 $f$가 원래의 지수로 바뀝니다. 부패 함수 $g(x)$입니다.

매개 변수가 있는 함수는 매개 변수의 각 값에 대해 하나의 함수가 있는 함수 전체 패밀리를 나타내는 것으로 생각할 수 있습니다. 그러나 미적분을 배우기 시작하면 기본 매개 변수 $b$를 제거하고 대신 상수 $k$를 사용하여 함수가 더 빨리 증가하거나 느리게 증가하거나 감소하는 것이 더 자연스럽다는 것을 알 수 있습니다. 제외 하 고, 우리는 정확 하 게 $b$의 기본을 제거 할 수 없습니다. $b =1$로 설정하면 지루한 함수 $f(x)=1$이 있거나 $b=0$로 설정하면 더 지루한 함수 $f(x)=0$가 됩니다. 우리는 $b 달러의 다른 값을 선택해야합니다. $f(x)$의 기하급수적인 증가에서 함수는 입력 $x$에 추가할 때마다 두 배가 됩니다. $g(x)$의 지수 감소에서 함수는 입력 $x$에 추가할 때마다 절반으로 줄어듭니다. 이 두 배의 시간 또는 반감기의 존재는 그들이 성장하거나 붕괴 얼마나 빨리 나타내는 지수 함수의 특징입니다. $f$의 정의에 두 매개 변수를 $b $k$를 추가하는 것은 정말 불필요합니다. $b$ 또는 $k $를 제거하면 모든 기능을 얻을 수 있습니다. 위의 애플릿을 통해이 사실을 볼 수 있습니다. 예를 들어 함수$f(x)=3^{2x}$($k=2$, $b=3$)는 함수 $f(x=9^x$)($k=1=1=$b=9$)와 정확히 동일합니다.

실제로 $k$로 변경하면 함수를 동일하게 유지하기 위해 $b$의 보정 변경을 수행할 수 있습니다. 이를 보려면 “수정 기능” 확인란을 선택합니다. 그런 다음 $b $ 또는 $k $를 변경하면 애플릿이 자동으로 다른 매개 변수에서 보정 을 변경하여 함수를 동일하게 유지합니다. 이것이 사실인 이유가 궁금하다면 두 매개 변수가 중복되는 계산을 확인할 수 있습니다.

 

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